Question

过抛物线y²=4x的焦点F的直线交该抛物线与A、B两点，若|BF|=

3

2

，|AF|=

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据抛物线方程求得p和F点的坐标，根据|BF|求得B点的横坐标，代入抛物线方程求得其纵坐标，进而得到直线AB的方程与抛物线方程联立消去y，利用韦达定理求得x_A+x_B，进而求得|AB|，最后利用|AB|-|BF|求得答案．

解答： 解：依题意2p=4，
∴p=2，F坐标为（1，0），
∵点B到准线的距离与|BF|相等，即为

3

2

，
∴x_B=

3

2

-1=

1

2

，
∴y_B=±

2

当点B在y轴上方时，y_B=

2

∴直线AB的方程为

x-1

y

=

1- 1 2

2 -0

，即y=-2

2

x+2

2

，与抛物线方程联立得，
2x²-5x+2=0，
∴x_A+x_B=

5

2

，
∴|AB|=x_A+x_B+p=

5

2

+2=

9

2

∴|AF|=|AB|-|BF|=

9

2

-

3

2

=3
故答案为：3．

点评：本题主要考查了抛物线简单性质．活用圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线最基本的方法．到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化到准线的距离求解．