Question

已知函数f（x）=asinx-x+b（a，b均为正常数），设函数f（x）在x=

π

3

处有极值．
（1）若对任意的x∈[0，

π

2

]，不等式f（x）＞sinx+cosx总成立，求实数b的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间(

m-1

3

π，

2m-1

3

π)上单调递增，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f′（x）在x=

π

3

时，f′（x）=0，解得a的值，构造函数g（x），b＞g（x），即b大于g（x）的最大值；
（2）f（x）在区间(

m-1

3

π，

2m-1

3

π)上单调递增，所以区间(

m-1

3

π，

2m-1

3

π)是g（x）单调递增区间的了集，列出不等式，求出m取值范围．

解答： 解：（1）f′（x）=acosx-1，∵函数f（x）在x=

π

3

处有极值，∴f′(

π

3

)=

a

2

-1=0，得a=2，
由f（x）＞sinx+cosx得：2sinx-x+b＞sinx+cosx，即b＞cosx-sinx+x，令g（x）=cosx-sinx+x，x∈[0，

π

2

]，
g′（x）=-sinx-cosx+1=-

2

sin(x+

π

4

)+1，∵x∈[0，

π

2

]，g′（x）≤0，∴g（x）在[0，

π

2

]上单调递减，∴g（x）的最大值为g（0）=1，∴b＞1；
（2）f′（x）=2cosx-1，令f′（x）≥0得，cosx≥

1

2

，解得2kπ-

π

3

≤x

π

3

+2kπ，
∵函数f（x）在区间(

m-1

3

π，

2m-1

3

π)上单调递增，∴

2kπ- π 3 ≤ m-1 3 π 2kπ+ π 3 ≥ 2m-1 3 π

解得：

m≥6k 2m≤6k+2

，12k≤2m≤6k+2，又

m-1

3

π＜x＜

2m-1

3

π得m＞0，
∴m的取值范围为（0，2]．

点评：本题考查了极值，单调性，运用了等价转化思想，余弦函数的单调区间，属于中档题．