Question

已α、β都是锐角，且sinα=

5

5

，sinβ=

10

10

，求证：α+β=

π

4

．

Answer 1

分析：由sinα与sinβ的值，根据α，β的范围，利用同角三角函数间的基本关系分别求出cosα和cosβ的值，然后利用两角和的余弦函数公式化简cos（α+β），把各自的值代入即可求出cos（α+β）的值，根据α，β的范围求出α+β的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出α+β的度数，得证．

解答：证明：∵α、β都是锐角，sinα=

5

5

，sinβ=

10

10

，
∴cosα=

1-sin2α

=

2 5

5

，cosβ=

1-sin2β

=

3 10

10

，
则cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=

2 5

5

×

3 10

10

-

5

5

×

10

10

=

2

2

，
又α+β∈（0，π），
∴α+β=

π

4

．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．