Question

已知α、β、γ都是锐角，且cos²α+cos²β+cos²γ=1，求证：tanαtanβtanγ≥2

2

．

Answer 1

分析：α、β、γ都是锐角，可以看做长方体的一条对角线（长为1）与相邻3个面的夹角，
用长方体的一顶点上3条棱abc表示tanα、tanβ、tanγ，再用均值不等式a²+b²≥2ab．

解答：解：通过观察、联想：在长方体中，a²+b²+c²=l²?(

a

l

)2+(

b

l

)2+(

c

l

)2=1
∵α、β、γ是锐角，∴令

a

l

=cosα，

b

l

=cosβ，

c

l

=cosγ
∴tanα=

b2+c2

a

≥

2 bc

a

，tanβ≥

2 ac

b

，tanγ≥

2 ab

c

，
∴tanαtanβtanγ≥2

2

．

点评：本题体现了划归转化的数学思想方法，注意均值不等式a²+b²≥2ab的应用．