Question

函数f(x)对一切实数x、y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0.

(1)求f(0)的值；

（2）当f(x)+2＜log_ax,x∈(0,)恒成立时，求a的取值范围.

Answer 1

解：

（1）由已知等式f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)·x,令x=1,y=0,得f(1)-f(0)=2,又因为f(1)=0,所以f(0)=-2.

(2)由（1）知f(0)=-2,所以f(x)+2=f(x)-f(0)=f(x+0)-f(0)=(x+1)·x，因为x∈(0,),所以f(x)+2∈(0,).

要使x∈(0,)时，f(x)+2＜log_ax恒成立，显然当a＞1时不可能，所以解得≤a＜1.

绿色通道：

全称命题真，意味着对限定集合中的每一个元素都能具有某性质，使所给语句真.因此，当给出限定集合中的任一个特殊的元素时，自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”（这类似于“代入”思想）.例如，由于“a、b∈R,(a+b)·(a²-ab+b²)=a³+b³”真，因此，当a=3,b=5时，(3+5)(9-15+25)=3³+5³自然是正确的.又如，该题已知条件f(x)对一切实数x、y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，而x=1∈R,y=0∈R,所以有f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)·1，即f(1)-f(0)=2.

以上思想要注意准确理解并运用.