Question

有一学生对函数f（x）=xcosx进行了研究，得到如下五条结论：①函数f（x）在（一π，0）上单调递增，在（0，π）上单调递减；
②存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立；
③函数y=f（x）图象的一个对称中心是(

π

2

，0)；
④函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离相等；
⑤函数y=f（x）的图象与直线．y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离相等；其中正确结论的序号是

②⑤

．（写出所有你认为正确的结论的序号）

Answer 1

分析：研究函数f（x）得单调性可知函数f（x）为奇函数，结合奇函数的对称区间上的单调性可判断①；根据y=cosx是有界函数可判断②；根据函数基本性质：对称性的应用可判断③；令f（x）=xcosx=0，可求方程的解，从而可得函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离不相等，由此能判断④；令f（x）=xcosx=x，可求方程的解，从而可得函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离相等，由此能判断⑤．

解答：解：①因为f（x）=xcosx
所以，f（-x）=-xcos（-x）=-xcosx=-f（x）
则函数f（x）是奇函数，在对称的区间上单调性相同，故①错误；
②因为|cosx|≤1，令M=2即得|f（x）|≤M|x|成立，故②正确；
③因为f（

1

2

π+x）+f（

1

2

π-x）=-（π+2x）sinx+（π-2x）sinx=-4xsinx≠0，
所以点（

1

2

π，0）不是函数y=f（x）图象的一个对称中心，故③错误；
④令f（x）=xcosx=0，∴x=0或cosx=0，∴x=0或x=kπ+

π

2

，（k∈Z），
故函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，
且任意相邻两公共点间的距离不相等，故④不成立；
⑤令f（x）=xcosx=x，∴cosx=1，∴x=0或x=kπ，（k∈Z），
故函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，
且任意相邻两公共点间的距离相等，故⑤成立．
故答案为：②⑤．

点评：本题主要考查函数单调性与其导函数的正负之间的关系以及函数的基本性质--对称性的应用．属中档题．