Question

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称函数f（x）为F函数．现给出下列函数①f（x）=x²，②f（x）=

x2

x2-x+1

③f（x）=x（1-2^x），④f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x₁x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．其中是F函数的序号为（　　）

A．①②③

B．②④

C．②③

D．③④

Answer 1

分析：本题考查阅读题意的能力，根据F函数的定义对各选项进行判定．比较各个选项，发现只有选项（2）（4），根据单调性可求出存在正常数M满足条件，而对于其它选项，不等式变形之后，发现都不存在正常数M使之满足条件，由此即可得到正确答案．

解答：解：f（x）=x²，|f（x）|=|x²|≤M|x|，即|x|≤M，不存在这样的M对一切实数x均成立，故①不是F函数；
当x=0时，M可取任意正数；当x≠0时，只须M≥|

x

x2-x+1

|的最大值，即M≥|

1

x+ 1 x -1

|的最大值，∴M≥1，
因此，当M≥1时，②是F函数；
当x=0时，M可取任意正数；当x≠0时，只须M≥|1-2^x|的最大值，∵右边不存在最大值，故③不是F函数；
对于④，f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，因而由|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到，|f（x）|≤2|x|成立，存在M≥2＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，符合题意．
故选B．

点评：本题重点考查了函数的最值及其性质，对选支逐个加以分析变形，利用函数、不等式的进行检验，方可得出正确结论．深刻理解题中F函数的定义，用不等式的性质加以处理，找出不等式恒成立的条件再进行判断，是解决本题的关键所在．