Question

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，使|f（x）|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数．给出下列函数：
①f（x）=0；                ②f（x）=2x；                    ③f（x）=

x

x2+x+1

；
你认为上述三个函数中，哪几个是f函数，请说明理由．

Answer 1

分析：本题考查阅读题意的能力，根据F函数的定义进行判定：对于①可以利用定义直接加以判断；对于②可以利用绝对值的性质将不等式变形为2≤m；对于③，需要通过讨论，将不等式变形为|

1

x2+x+1

| ≤m，可以求出符合条件的m的最小值为

4

3

，如此可得到正确结论．

解答：解：对于①，显然m是任意正数时都有0≤m|x|，f（x）=0是F函数；
对于②，显然m≥2时，都有|2x|≤m|x|，f（x）=2x是F函数；
对于③，要使|f（x）|≤m|x|成立，即|

x

x2+x+1

| ≤m|x|
当x=0时，m可取任意正数；当x≠0时，只须m≥|

1

x2+x+1

|的最大值；
因为x²+x+1=(x+

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，所以m≥

4

3

因此，当m≥

4

3

时，f（x）=

x

x2+x+1

是F函数；
所以以上三个函数均为F函数．

点评：本题属于开放式题，题型新颖，考查数学的阅读理解能力．知识点方面主要考查了函数的最值及其几何意义，考生需要有较强的分析问题解决问题的能力，对选支逐个加以分析变形，利用函数、不等式的进行检验，方可得出正确结论．