Question

(本题满分16分)

设函数.

（1）若=1时，函数取最小值，求实数的值；

（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；

（3）若，证明对任意正整数，不等式都成立.

Answer 1

（1）- 4.（2）（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）利用导数求开区间函数最值，先从导函数出发，探求极值点即为最值点，最后需列表验证：由得（2）函数在定义域上是单调函数，即导函数不变号， ≥0或≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立. 即2x2 +2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立或2x2 +2x+b≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立，利用变量分离及函数最值可得：实数b的取值范围是.（3）证明和项不等式，关键分析出和项与通项关系：即证当时,有f(x) ＜x3.这可利用导数给予证明

试题解析：（1）由x + 1＞0得x＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞),

对x∈ ( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f/ (1) = 0,

解得b= - 4. 经检验，列表（略），合题意；

（2）∵又函数在定义域上是单调函数，

∴ ≥0或≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.

若 ≥0，∵x + 1＞0，∴2x2 +2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立,

即b≥-2x2 -2x = 恒成立,由此得b≥;

若≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x2 +2x+b≤0,即b≤- (2x2+2x)恒成立，

因-(2x2+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值，∴不存在实数b使f(x) ≤0恒成立.

综上所述，实数b的取值范围是.

（3）当b= - 1时，函数f(x) = x2 - ln(x+1)，令函数h(x)=f(x) – x3 = x2 – ln(x+1) – x3，

则h/(x) = - 3x2 +2x - ，

∴当时，h/(x)＜0所以函数h(x)在上是单调递减.

又h(0)=0，∴当时，恒有h(x) ＜h(0)=0,即x2 – ln(x+1) ＜x3恒成立.

故当时,有f(x) ＜x3..

∵取则有

∴,故结论成立。

考点：利用导数研究函数性质