Question

已知两向量a、b，求证：若|a＋b|＝|a－b|，则a的方向与b的方向垂直；反之也成立．

Answer 1

答案：
解析：

探究：要证明a的方向与b方向垂直，只需证明以a、b为邻边的平行四边形为矩形，即证两对角线长度相等即可． 　　证明：①若|a＋b|＝|a－b|，设＝a，＝b，以、为邻边作平行四边形，则|a＋b|＝||，|a－b|＝||，又|a＋b|＝|a－b|， 　　∴||＝||， 　　即平行四边形OACB的对角线相等， 　　∴平形四边形OACB为矩形， 　　∴a与b的方向垂直． 　　②若a与b的方向垂直，如图所示，设＝a，＝b，以、为邻边的平行四边形为矩形． 　　∴||＝||，而＝a＋b，＝a－b， 　　∴|a＋b|＝|a－b|． 　　规律总结：此题的证明关键利用了两个向量和与差的几何意义，同时指出了平行四边形两对角线向量分别是邻边向量的和与差，本题求证的结论非常重要，应领会其实质．