Question

已知平面向量

a

=(cosωx+

3

sinωx，1)，

b

=(f(x)，cosωx)，其中ω＞0且

a

∥

b

，函数f（x）的图象两相邻对称轴之间的距离为

3π

2

．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在区间[π，

5π

2

]上的最大值及相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）通过向量平行，推出函数的表达式，利用二倍角以及两角和的正弦函数化简为一个角的一个三角函数的形式，通过周期求ω的值；
（2）利用[π，

5π

2

]，求出

5π

6

≤

2

3

x+

π

6

≤

11π

6

，-1≤sin(

2

3

x+

π

6

)≤

1

2

即求函数f（x）在区间的最大值及相应的x的值．

解答：解：（1）由

a

∥

b

得f(x)×1=(cosωx+

3

sinωx)×cosωx，整理并化简得f(x)=

1

2

cos2ωx+

3

2

sin2ωx+

1

2

=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

，
依题意

T

2

=

3π

2

，T=3π，又T=

2π

2ω

，
所以ω=

1

3

．
（2）f(x)=sin(

2

3

x+

π

6

)+

1

2

，π≤x≤

5π

2

，

5π

6

≤

2

3

x+

π

6

≤

11π

6

，
所以-1≤sin(

2

3

x+

π

6

)≤

1

2

，
所以f（x）的最大值为fmax=

1

2

，易得相应的x=π．

点评：（1）试题核心是三角函数性质，情景与条件有鲜明的几何意义，综合了三角函数的对称性、周期性和最值等，要求熟悉三角函数图象，并以图象和性质引导计算．
（2）三角形模型．典型的结构是：根据若干给定条件确定三角形的边与角，在此基础上进一步求解．给定条件方式有：坐标、向量或方位，有应用题特征．