Question

【题目】设函数，已知曲线在点处的切线与直垂直.

（1）求的值；

（2）求函数的极值点.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）见解析.

【解析】

（1）对函数求导，由曲线在点处的切线与直垂直，可知，即可求出；（2）求导，然后分类讨论，确定单调性，进而可以求出极值点。

（1）由题意知，，，解得.

（2）函数，定义域为，

则，令，，

则，

①当时，，有，即，所以在区间上单调递减，故函数在区间上无极值点；

②当时，，令，有，，，

当时，，即，得在上递减，

当时，，即，得在上递增，

当时，，即，得在上递减，

此时有一个极小值点为，有一个极大值点为.

③当时，，令，有，，

当时，，即，得在上递增，

当时，，即，得在上递减，

此时有唯一的极大值点为.

综上可知，当时，函数有一个极小值点为，有一个极大值点为；

当时，函数在区间上无极值点；

当时，函数有唯一的极大值点为，无极小值点.