对于函数f=cosx.h(x)=x+$\frac{π}{3}$.有如下五个命题:①f的最大值为$\sqrt{2}$,②将f(x)的图象向右平移$\frac{π}{2}$个单位可得g(x)的图象,．③f[h(x)]在区间[-$\frac{π}{2}$.0]上是增函数,④点是函数f[h(x)]图象的一个对称中心,⑤函数g[h(x)]的图象上相邻的两条对称轴之间的距离是2π� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．对于函数f（x）=sinx，g（x）=cosx，h（x）=x+$\frac{π}{3}$，有如下五个命题：
①f（x）-g（x）的最大值为$\sqrt{2}$；
②将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{2}$个单位可得g（x）的图象；．
③f[h（x）]在区间[-$\frac{π}{2}$，0]上是增函数；
④点（$\frac{2π}{3}$，0）是函数f[h（x）]图象的一个对称中心；
⑤函数g[h（x）]的图象上相邻的两条对称轴之间的距离是2π．
其中真命题的序号是①③④．

分析 ①化函数f（x）-g（x）为正弦型函数，即可求出f（x）-g（x）的最大值；
②根据平移公式，即可得出f（x）图象向右平移$\frac{π}{2}$个单位后得到的函数解析式；
③求出x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时x+$\frac{π}{3}$的取值范围，从而求出f[h（x）]的单调性；
④当x=$\frac{2π}{3}$时，f[h（x）]=0，得出（$\frac{2π}{3}$，0）是函数f[h（x）]图象的一个对称中心；
⑤求出函数g[h（x）]图象的对称轴，即可求出图象上相邻两条对称轴之间的距离．

解答解：对于①，函数f（x）-g（x）=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），∴f（x）-g（x）的最大值为$\sqrt{2}$，命题正确；
对于②，将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{2}$个单位，得y=sin（x-$\frac{π}{2}$）=-cosx，不能得到g（x）=cosx的图象，命题错误；．
对于③，当x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时，x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，∴f[h（x）]=sin（x+$\frac{π}{3}$）在区间[-$\frac{π}{2}$，0]上是增函数，命题正确；
对于④，当x=$\frac{2π}{3}$时，f[h（x）]=sin（$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=0，∴点（$\frac{2π}{3}$，0）是函数f[h（x）]图象的一个对称中心，命题正确；
对于⑤，函数g[h（x）]=cos（x+$\frac{π}{3}$）图象的对称轴是x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离是π，命题错误．
综上，其中真命题的序号是①③④．
故答案为：①③④．

点评本题考查了正弦、余弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了复合函数的性质与应用问题，是综合性题目．