Question

（本小题满分14分）设函数（e=2．718 28 是自然对数的底数）．

（1）当时，求在点处的切线方程；

（2）判断的单调性；

（3）证明：当（1，+∞）时，．

Answer 1

（1）； （2）的增区间为，减区间为；（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点是否在曲线上；（2）利用导数讨论函数在定义域内的单调性即可，其中需要注意参量的取值范围；（3）对于较难分析或者是较为复杂的式子可以先用分析法分析一下，转化成较容易理解的式子如：就可转化为这样就容易证明了．

试题解析：（1）当时，，，∴切点为，

，，切线方程为; 3分

（2）， 4分

∵

∴当时，，∴的增区间为，无减区间； 6分

当时，，，

∴的增区间为，减区间为； 9分

（3）当（1，+∞）时，要证明： ．

即证，即证，即证

即证，

∵

即证， 11分

令

∵，

∴在（1，+∞）上单调递减，

∴，

即，

∴当（1，+∞）时，得证． 14分

考点：函数的性质及其综合应用．