Question

19．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，点$A（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在椭圆C上，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，且l与圆x²+y²=5的相交于不在坐标轴上的两点P₁，P₂，记直线OP₁，OP₂的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a，b然后求出椭圆的方程．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，验证直线OP₁，OP₂的斜率之积．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m与椭圆联立，利用直线l与椭圆C有且只有一个公共点，推出m²=4k²+1，通过$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+{y^2}=5\end{array}\right.$，设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k₁•k₂为定值即可．

解答 （本小题满分14分）
（Ⅰ）解：由题意，得$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，a²=b²+c²，…（2分）
又因为点$A（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在椭圆C上，
所以$\frac{1}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1$，…（3分）
解得a=2，b=1，$c=\sqrt{3}$，
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（5分）
（Ⅱ）证明：当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=±2，
易得直线OP₁，OP₂的斜率之积${k_1}•{k_2}=-\frac{1}{4}$．…（6分）
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m．…（7分）
由方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，…（8分）
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以△=（8km）²-4（4k²+1）（4m²-4）=0，即m²=4k²+1．…（9分）
由方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+{y^2}=5\end{array}\right.$得（k²+1）x²+2kmx+m²-5=0，…（10分）
设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{-2km}{{{k^2}+1}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{{m^2}-5}}{{{k^2}+1}}$，…（11分）
所以${k_1}•{k_2}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}}}{{{x_1}{x_2}}}$=$\frac{{{k^2}•\frac{{{m^2}-5}}{{{k^2}+1}}+km•\frac{-2km}{{{k^2}+1}}+{m^2}}}{{\frac{{{m^2}-5}}{{{k^2}+1}}}}=\frac{{{m^2}-5{k^2}}}{{{m^2}-5}}$，…（13分）
将m²=4k²+1代入上式，
得${k_1}•{k_2}=\frac{{-{k^2}+1}}{{4{k^2}-4}}=-\frac{1}{4}$．
综上，k₁•k₂为定值$-\frac{1}{4}$．…（14分）

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．