Question

11．直线3x+4y+4=0与圆C：x²+y²-2x-4y+a=0有两交点A，B．
（1）写出圆C的标准方程；
（2）若△ABC是正三角形，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）利用配方法，可得圆C的标准方程；
（2）若△ABC是正三角形，C到直线的距离等于$\frac{\sqrt{3}}{2}•\sqrt{-a+5}$，即可求实数a的值．

解答 解：（1）圆C：x²+y²-2x-4y+a=0，化为标准方程为（x-1）²+（y-2）²=-a+5；
（2）∵△ABC是正三角形，∴C到直线的距离等于$\frac{\sqrt{3}}{2}•\sqrt{-a+5}$，
∴$\frac{|3+8+4|}{5}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}•\sqrt{-a+5}$，
∴a=-7．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．