Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知（a₄-1）³+2007（a₄-1）=1，（a₂₀₀₄-1）³+2007（a₂₀₀₄-1）=-1，则下列结论中正确的是（　　）

• A、S₂₀₀₇=2007，a₂₀₀₄＜a₄
• B、S₂₀₀₇=2007，a₂₀₀₄＞a₄
• C、S₂₀₀₇=2008，a₂₀₀₄≤a₄
• D、S₂₀₀₇=2008，a₂₀₀₄≥a₄

Answer 1

分析：根据题意建立一个函数f（x）=x³+2007x，求出f（x）的导函数，进而得到导函数恒大于0，即函数f（x）为单调递增函数且为奇函数，根据已知的两等式，得到f（a₄-1）等于1及f（a₂₀₀₄-1）等于-1，由f（x）为奇函数得到f（1-a₂₀₀₄）等于1，由函数的单调性得到a₄-1与1-a₂₀₀₄相等即a₄+a₂₀₀₄=2，然后根据等差数列的前n项和的公式表示出S₂₀₀₇，根据等差数列的性质化简后，将a₄+a₂₀₀₄=2代入即可求出值．

解答：解：令f（x）=x³+2007x，f′（x）=3x²+2007＞0，
得到f（x）在R上单调递增，且f（x）为奇函数．
由条件，有f（a₄-1）=1，f（a₂₀₀₄-1）=-1，即f（1-a₂₀₀₄）=1．
∴a₄-1=1-a₂₀₀₄，从而a₄+a₂₀₀₄=2，
则S2007=

2007(a1+a2007)

2

=

2007(a4+a2004)

2

=2007．
故选A

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质及前n项和的公式化简求值，考查了利用函数思想解决实际问题的能力，是一道中档题．