题目内容
设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a4-1)3+2012(a4-1)=1，(a2009-1)3+2012(a2009-1)=-1，则下列结论中正确的是（ ）
分析：先确定等差数列的公差d＜0，再将条件相加，结合等差数列的求和公式及等差数列的性质，即可求得结论．
解答：解：由（a4-1）3+2012（a4-1）=1，（a2009-1）3+2012（a2009-1）=-1
可得a4-1＞0，-1＜a2009-1＜0，即a4＞1，0＜a2009＜1，从而可得等差数列的公差d＜0
∴a2009＜a4，
把已知的两式相加可得（a4-1）3+2012（a4-1）+（a2009-1）3+2012（a2009-1）=0
整理可得（a4+a2009-2）•[（a4-1）2+（a2009-1）2-（a4-1）（a2009-1）+2012]=0
结合上面的判断可知（a4-1）2+（a2009-1）2-（a4-1）（a2009-1）+2012＞0
所以a4+a2009=2，而s2012=
（a1+a2012）=
（a4+a2009）=2012
故选A．
可得a4-1＞0，-1＜a2009-1＜0，即a4＞1，0＜a2009＜1，从而可得等差数列的公差d＜0
∴a2009＜a4，
把已知的两式相加可得（a4-1）3+2012（a4-1）+（a2009-1）3+2012（a2009-1）=0
整理可得（a4+a2009-2）•[（a4-1）2+（a2009-1）2-（a4-1）（a2009-1）+2012]=0
结合上面的判断可知（a4-1）2+（a2009-1）2-（a4-1）（a2009-1）+2012＞0
所以a4+a2009=2，而s2012=
| 2012 |
| 2 |
| 2012 |
| 2 |
故选A．
点评：本题考查了等差数列的性质的运用，灵活利用等差数列的性质是解决问题的关键，属于中档题．
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