Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在面对角线AC上运动，给出下列四个命题：
①D₁P∥平面A₁BC₁； 
②D₁P⊥BD；
③平面PDB₁⊥平面A₁BC₁；
④三棱锥A₁-BPC₁的体积不变．
则其中所有正确的命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：①根据线面平行的判断定理进行判断D₁P∥平面A₁BC₁； 
②D利用特殊值法即可判断D₁P⊥BD不成立；
③根据面面垂直的判断条件即可判断平面PDB₁⊥平面A₁BC₁；
④将三棱锥的体积进行等价转化，即可判断三棱锥A₁-BPC₁的体积不变．

解答： 解：①∵在正方体中，D₁A∥BC₁，D₁C∥BA₁，且D₁A∩DC₁=D₁，
∴平面D₁AC∥平面A₁BC₁；
∵P在面对角线AC上运动，
∴D₁P∥平面A₁BC₁；∴①正确．
②当P位于AC的中点时，D₁P⊥BD不成立，∴②错误；
③∵A₁C₁⊥平面BDD₁B₁；∴A₁C₁⊥B₁D，
同理A₁B⊥B₁D，
∴B₁D⊥平面A₁BC₁，
∴平面BDD₁B⊥面ACD₁，
∴平面PDB₁⊥平面A₁BC₁；
∴③正确．
④三棱锥A₁-BPC₁的体积等于三棱锥B-A₁PC₁的体积．
△A₁PC₁的面积为定值

1

2

A1C1•AA1，
B到平面A₁PC₁的高为BP为定值，
∴三棱锥A₁-BPC₁的体积不变，∴④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的位置关系的判断，综合考查学生的推理能力，综合性较强，难度较大．