Question

如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．

(1)证明：；

(2)若为上的动点，与平面所成最大角的正弦值为，求二面角的余弦值.

Answer 1

(1)证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．

因为为的中点，所以

又，因此

因为平面，平面，所以

而平面，平面且

所以平面．又平面

所以.------------------------------(3分)

(2)解：设，为上任意一点，连接．

由(1)知平面

所以为与平面所成的角

在中，，

所以当最短时，最大，即当时，最大．

因为，此时

因此．又，所以，所以．----------------(5分)

解法一：因为平面，平面

所以平面平面  

过作于，则平面

过作于，连接，则为二面角的平面角-------(7分)

在中，，

又是的中点，在中，

又

在中，-------------------------------(9分)

即所求二面角的余弦值为．-------------------------------------------(10分)

解法二：由(1)知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以

所以

设平面的一法向量为

则因此

取，则-----------------------------------------------(7分)

因为，，，所以平面

故为平面的一法向量,又

所以．---------------------------(9分)

因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．-------------(10分)

解法三：建立如图所示的空间直角坐标系，设菱形的边长为2，则，设

由三点共线可设，则-------------(4分)

，又平面的一个法向量

设与平面所成角为，则-(5分)

令

---------------------------(6分)

------------(7分)

易得平面的一个法向量；平面的一个法向量-(8分)

------------------------------------------(9分)

又二面角是锐二面角