Question

已知奇函数f（x）=log₂（a+x）-log₂（a-x）（a＞0），定义域为（b，b+2）（定义域是指使表达式有意义的实数x的集合）．
（1）求实数a和b的值，并证明函数f（x）在其定义域上是增函数；
（2）设f（x）的反函数为f^-1（x），若不等式f^-1（x）≤m•2^x对于x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵奇函数的定义域关于原点对称，∴b+b+2=0?b=-1，∴定义域为（-1，1），
从而（a＞0）的解集为（-1，1），∴a=1，
∴，
设-1＜x₁＜x₂＜1，，
由-1＜x₁＜x₂＜1?0＜1+x₁＜1+x₂且0＜1-x₂＜1-x₁?且
??，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在其定义域上是增函数
（2）令f（x）=y，则?2^y-x•2^y=1+x?（y∈R），
∴反函数f^-1（x）═，由f^-1（x）≤m•2^x?，整理得，此式对于x∈[1，2]恒成立，令2^x-1=t，则t∈[1，3]，，
当，即∈[1，3]时上式成立等号，即有最大值为，
∴．
分析：（1）先利用奇函数的定义域关于原点对称求出b的值，再根据f（x）为奇函数，有f（-x）=-f（x），由此等式解出a的值，最后利用单调性的定义说明不函数f（x）在其定义域上是增函数；
（2）根据反函数的定义求出原函数的反函数f^-1（x）═，再由f^-1（x）≤m•2^x即，此式对于x∈[1，2]恒成立，再利用换元结合基本不等式得到有最大值为，从而求出实数m的取值范围．
点评：本小题主要考查函数单调性、函数奇偶性的应用、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．