题目内容
已知奇函数f(x)满足f(x)=-f(x+2),当x∈[0,1]时,f(x)=x,若af2(x)+bf(x)+c=0在x∈[0,6]上恰有5个根,且记为xi(i=1,2,3,4,5),则x1+x2+x3+x4+x5= .
分析:奇函数f(x)满足f(x)=-f(x+2),可得f(x+2)=-f(x)=f(-x),因此函数f(x)关于直线x=1对称.f(x+4)=-f(x+2)=f(x),可得函数f(x)的周期为4.可得函数f(x)关于直线x=3也对称.由于af2(x)+bf(x)+c=0在x∈[0,6]上恰有5个根,且记为xi(i=1,2,3,4,5),不妨设x1<x2<x3<x4<x5.则x1+x5=x2+x4=2x3=6.即可得出.
解答:解:∵奇函数f(x)满足f(x)=-f(x+2),
∴f(x+2)=-f(x)=f(-x),∴函数f(x)关于直线x=1对称.
又f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的周期为4.可得函数f(x)关于直线x=3也对称.
∵af2(x)+bf(x)+c=0在x∈[0,6]上恰有5个根,且记为xi(i=1,2,3,4,5),不妨设x1<x2<x3<x4<x5.则x1+x5=x2+x4=2x3=6.
则x1+x2+x3+x4+x5=15.
故答案为:15.
∴f(x+2)=-f(x)=f(-x),∴函数f(x)关于直线x=1对称.
又f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的周期为4.可得函数f(x)关于直线x=3也对称.
∵af2(x)+bf(x)+c=0在x∈[0,6]上恰有5个根,且记为xi(i=1,2,3,4,5),不妨设x1<x2<x3<x4<x5.则x1+x5=x2+x4=2x3=6.
则x1+x2+x3+x4+x5=15.
故答案为:15.
点评:本题综合考查了函数的奇偶性、周期性、一元二次方程的解的情况,考查了数形结合的思想方法,属于难题.
练习册系列答案
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若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,则g(x)=( )
A、ex-e-x | ||
B、
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C、
| ||
D、
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