Question

下面四个命题：
①已知函数f(x)=

x  ，x≥0  -x  ，x＜0

且f（a）+f（4）=4，那么a=-4；
②一组数据18，21，19，a，22的平均数是20，那么这组数据的方差是2；
③要得到函数y=sin(2x+

π

3

)的图象，只要将y=sin2x的图象向左平移

π

3

单位；
④已知奇函数f（x）在（0，+∞）为增函数，且f（-1）=0，则不等式f（x）＜0的解集{x|x＜-1}．
其中正确的是

②

．

Answer 1

分析：①因是分段函数，所以要讨论．②利用平均数和方差公式即可．③由横坐标的变换规律“左加右减”可得到变换后的表达式，再进行比较即可．④由已知条件画出图象即可得出答案．

解答：解：①∵f（4）=

4

=2，∴f（a）=4-f（4）=4-2=2．当a≥0时，f（a）=

a

=2，解得a=4；当a＜0时，f（a）=

-a

=2，解得a=-4．故①不正确．
②∵（18+21+19+a+22）÷5=20，解得a=20，∴方差s²=

1

5

×[(-2)2+12+(-1)2+02+22]=2．故②正确．
③若将y=sin2x的图象向左平移

π

3

单位，得y=sin[2(x+

π

3

)]=sin(2x+

2π

3

)=sin(π+2x-

π

3

)=-sin(2x-

π

3

)≠sin(2x+

π

3

)．故③不正确．
④由奇函数的图象关于原点对称，且函数f（x）在（0，+∞）为增函数，且f（-1）=0，可得f（1）=-f（-1）=0，（若f（x）在x=0有意义，则f（0）=0），如图所示：
∴不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜-1，或0＜x＜1}．
故答案为②

点评：本题综合考查了函数的性质、三角变换及统计量，深刻理解以上知识是解决问题的关键．