Question

13．在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=$\sqrt{3}$，c-b=1，cos A=$\frac{2}{3}$，则△ABC的面积是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数关系式可求sinA，由余弦定理解得bc，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：∵a=$\sqrt{3}$，c-b=1，cosA=$\frac{2}{3}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：3=b²+c²-$\frac{4}{3}$bc=（c-b）²+2bc-$\frac{4}{3}$bc=1+$\frac{2}{3}$bc，解得：bc=3．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×3×$$\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．