Question

若函数f(x)=sin3xcosx+cos3xsinx+

3

sin2x．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）已知△ABC的三边a、b、c对应角为A、B、C，且三角形的面积为S，若

3

2

AB

•

BC

=S，求f(A)的取值范围．

Answer 1

考点：解三角形,三角函数中的恒等变换应用,复合三角函数的单调性

专题：计算题

分析：{1}利用平方关系式以及二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过正弦函数的单调性求出函数的单调减区间．
（2）利用三角形的面积与已知的表达式，求出B的值，推出A的范围，然后求出f（A）的范围．

解答： 解：（1）函数f(x)=sin3xcosx+cos3xsinx+

3

sin2x
=sin xcosx+

3

sin2x
=

1

2

sin2x+

3

2

-

3 cos2x

2

=sin（2x-

π

3

）+

3

2

．
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得：x∈[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z．
即函数的单调增区间为：[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z．
（2）△ABC的三边a、b、c对应角为A、B、C，且三角形的面积为S，

3

2

AB

•

BC

=S，
所以

3

2

|AB

|•|

BC

|cos(π-B)=

1

2

|AB

|•|

BC

|sinB，
tanB=-

3

，B=

2π

3

．
0＜A＜

π

3

，
f（A）=sin（2A-

π

3

）+

3

2

，所以2A-

π

3

∈(-

π

3

，

π

3

)，
sin（2A-

π

3

）∈(-

3

2

，

3

2

)，sin（2A-

π

3

）+

π

3

∈(-

3

，

3

)，
所以f（A）的范围：(-

3

，

3

)．

点评：本题考查二倍角公式与两角差的正弦函数的应用，函数的单调区间的求法，向量的数量积与三角形的面积公式的应用，三角函数的值域的求法，考查计算能力．