Question

8．设函数f（x）=x，（x≥1）函数g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-2x+4}$，（0＜x$≤\sqrt{a}$+1，其中a＞0）．
令h（x）为函数f（x）与g（x）的积函数．
（1）求函数h（x）的表达式，并求出其定义域；
（2）当h（x）的值域为[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接相乘，可得函数h（x）的表达式，并求出其定义域；
（2）当h（x）的值域为[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]时，4≤x+$\frac{4}{x}$≤5，x+$\frac{4}{x}$=5时，x=1或4．可得2≤$\sqrt{a}$+1≤4，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）h（x）=f（x）g（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-2x+4}$（1≤x$≤\sqrt{a}$+1，其中a＞0）．
（2）h（x）=$\frac{1}{x+\frac{4}{x}-2}$，
∵h（x）的值域为[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，
∴4≤x+$\frac{4}{x}$≤5，
x+$\frac{4}{x}$=5时，x=1或4．
∴2≤$\sqrt{a}$+1≤4，
∴1≤a≤9．

点评 本题考查函数解析式的确定，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．