Question

19．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=3+rcosα\\ y=-2+rsinα\end{array}\right.$（α为参数）与曲线C所表示的图形都相切，求r的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用极坐标与直角坐标的互化公式把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．
（2）把曲线C₁的参数方程化为直角坐标方程，根据两圆的圆心距等于半径之和或等于半径之差列出方程，解方程求得r的值．

解答 解：（1）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．
两边同时乘以ρ，可得ρ²=4ρsinθ，即 x²+y²=4y，即曲线C的直角坐标方程为 （x-0）²+（y-2）²=4．
（2）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=3+rcosα\\ y=-2+rsinα\end{array}\right.$（α为参数），即 （x-3）²+（y+2）²=r²，
根据它与曲线C所表示的图形都相切，∴两圆的圆心距等于半径之和或等于半径之差，
故有$\sqrt{{（3-0）}^{2}{+（-2-2）}^{2}}$=2+|r|，或 $\sqrt{{（3-0）}^{2}{+（-2-2）}^{2}}$=|2-|r||．
解得r=±3 或r=±7．

点评 本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，圆和圆的位置关系，属于基础题．