Question

19．已知函数f（x）=e^x-alnx．
（1）当a=4时，求证：f（x）在区间[2，+∞）上不存在零点；
（2）若两个函数在公共定义域内具有相同的单调性，则称这两个函数为“共性函数”．已知函数h（x）=-$\frac{1}{x+1}$，且函数f（x）-e^-x与h（x）的共性函数，求实数a的取值范围．
（3）若对任意x₁∈[2，+∞），存在x₂∈[0，+∞），使${e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}$-4${e}^{{x}_{2}}$lnx₁≥x₂${e}^{2{x}_{2}}$+x₂+b${e}^{{x}_{2}}$，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a=4代入函数解析式，求得f′（x），令g（x）=f′（x），求得g′（x），由g′（x）＞0可得f′（x）在[2，+∞）上是增函数．从而得到f（x）在[2，+∞）上是增函数．说明f（x）在区间[2，+∞）上不存在零点；
（2）设H（x）=f（x）-e^-x =e^x-alnx-e^-x，可知H（x）和h（x）的公共定义域为（0，+∞），由h（x），H（x）在（0，+∞）上也是增函数，得H′（x）≥0恒成立，得$a≤\frac{x{e}^{2x}+x}{{e}^{x}}（x＞0）$，设m（x）=$\frac{x{e}^{2x}+x}{{e}^{x}}（x＞0）$，利用导数求得m（x）＞m（0）=0，可得a≤0，即实数a的取值范围是（-∞，0]；
（3）${e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}$-4${e}^{{x}_{2}}$lnx₁≥x₂${e}^{2{x}_{2}}$+x₂+b${e}^{{x}_{2}}$?${e}^{{x}_{1}}-4ln{x}_{1}≥\frac{{x}_{2}{e}^{2{x}_{2}}+{x}_{2}}{{e}^{{x}_{2}}}+b$，故原命题等价于对任意x₁∈[2，+∞），存在x₂∈[0，+∞），使f（x₁）_min≥m（x₂）_min+b（其中f（x）中的a=4，m（x）为（2）中的m（x））．结合（1）即可求得b的取值范围为（-∞，e²-4ln2]．

解答 解：（1）当a=4时，f（x）=e^x-4lnx，
∴f′（x）=${e}^{x}-\frac{4}{x}（x≥2）$，
设g（x）=f′（x）=${e}^{x}-\frac{4}{x}（x≥2）$，
则g′（x）=${e}^{x}+\frac{4}{{x}^{2}}（x≥2）$，
∴g′（x）＞0，即f′（x）在[2，+∞）上是增函数．
故f′（x）≥f′（2）=e²-2＞0，
∴f（x）在[2，+∞）上是增函数．
故f（x）≥f（2）=e²-4ln2＞e²-4lne=e²-4＞0，
∴f（x）在区间[2，+∞）上不存在零点；
（2）设H（x）=f（x）-e^-x =e^x-alnx-e^-x，可知H（x）和h（x）的公共定义域为（0，+∞），
由于h（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴H（x）在（0，+∞）上也是增函数，故$H′（x）={e}^{x}-\frac{a}{x}+\frac{1}{{e}^{x}}=\frac{{e}^{2x}x-a{e}^{x}+x}{x{e}^{x}}≥0（x＞0）$，
即$a≤\frac{x{e}^{2x}+x}{{e}^{x}}（x＞0）$，设m（x）=$\frac{x{e}^{2x}+x}{{e}^{x}}（x＞0）$，
则m′（x）=$\frac{（{e}^{2x}+2x{e}^{2x}+1）{e}^{x}-（x{e}^{2x}+x）{e}^{x}}{{e}^{2x}}=\frac{{e}^{2x}+x{e}^{2x}+1-x}{{e}^{x}}$（x＞0），
可知x＞0时，（e^2x+xe^2x+1-x）′=（3+2x）e^2x-1＞0，故m′（x）为增函数，
∴m′（x）＞m′（0）=2＞0，
故m（x）在（0，+∞）上是增函数．
又m（x）＞m（0）=0，
故a≤0．
即实数a的取值范围是（-∞，0]；
（3）${e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}$-4${e}^{{x}_{2}}$lnx₁≥x₂${e}^{2{x}_{2}}$+x₂+b${e}^{{x}_{2}}$?${e}^{{x}_{1}}-4ln{x}_{1}≥\frac{{x}_{2}{e}^{2{x}_{2}}+{x}_{2}}{{e}^{{x}_{2}}}+b$，
故原命题等价于对任意x₁∈[2，+∞），存在x₂∈[0，+∞），使f（x₁）_min≥m（x₂）_min+b（其中f（x）中的a=4，m（x）为（2）中的m（x））．
由（1）知，当a=4时，$f（{x}_{1}）_{min}=f（2）={e}^{2}-4ln2$，由（2）知m（x₂）_min=m（0）=0．
于是得e²-4ln2≥0+b．
即b的取值范围为（-∞，e²-4ln2]．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，考查推理论证能力与运算能力属难题．