Question

17．已知数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2-{a}_{n}}$（n∈N^*）
（1）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是等比数列，并求{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=$\frac{n{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，求证：$\sum_{i=1}^{n}{b}_{i}$＜2．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=2（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），即可证明{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是首项为2，公比为2的等比数列，求出通项公式即可，
（2）利用错位相减法即可求出前n项和，再利用放缩法即可证明．

解答 证明：（1）∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2-{a}_{n}}$，
∴2a_n+1-a_n+1a_n=a_n，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=2（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），
∵a₁=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$-1=2，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=2ⁿ，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$，
（2）b_n=$\frac{n{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
令S_n=1•（$\frac{1}{2}$）¹+2•（$\frac{1}{2}$）²+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{2}$S_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$＜2，
故：$\sum_{i=1}^{n}{b}_{i}$＜2．

点评 本题考查数列递推公式的应用和错位相减法求和，以及放缩法证明不等式成立，属于中档题．