Question

18．已知函数f（x）=|x²-1|+x²+ax，（a＜-1，x＞-1）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，试判断f（x₁x₂）与a+1的大小关系，并证明；
（3）己知实数m，n（-1＜m＜n≤1），对任意t₀∈（m，n），总存在两个不同的t₁，t₂∈（1，+∞）使得f（t₀）-2=f（t₁）=f（t₂），求证：n-m≤$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）将函数f（x）=|x²-1|+x²+ax=$\left\{\begin{array}{l}ax+1，-1＜x＜1\\ 2{x}^{2}+ax-1，x≥1\end{array}\right.$，对a进行分析讨论，可得不同情况下函数f（x）的最小值；
（2）则x₁x₂=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8}}{4a}$∈（-1，1），结合（1）可得f（x₁x₂）＞f（1）=a+1；
（3）根据（1）可得a≤-4，当当n-m取最大值时，f（n）=$-\frac{1}{8}$a²+1，f（m）=a+2，进而证得结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|x²-1|+x²+ax=$\left\{\begin{array}{l}ax+1，-1＜x＜1\\ 2{x}^{2}+ax-1，x≥1\end{array}\right.$，
当-4＜a＜-1时，函数f（x）在（-1，1）上递减，在（1，+∞）上递增，故当x=1时，函数f（x）取最小值a+1；
当a≤-4时，函数f（x）在（-1，a）上递减，在（a，+∞）上递增，故当x=-$\frac{a}{4}$时，函数f（x）取最小值$-\frac{1}{8}$a²-1；
（2）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，不妨令x₁＜x₂，
则x₁=-$\frac{1}{a}$，x₂=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{4}$，
故x₁x₂=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8}}{4a}$∈（-1，1），
故f（x₁x₂）＞f（1）=a+1，
（3）若对任意t₀∈（m，n），总存在两个不同的t₁，t₂∈（1，+∞）使得f（t₀）-2=f（t₁）=f（t₂），
则a≤-4，f（t₀）-2=f（t₁）=f（t₂）∈（$-\frac{1}{8}$a²-1，a+1），
则f（t₀）∈（$-\frac{1}{8}$a²+1，a+2），
故当n-m取最大值时，f（n）=$-\frac{1}{8}$a²+1，f（m）=a+2，
即an+1=$-\frac{1}{8}$a²+1，am+1=a+2，
解得：n=$-\frac{1}{8}$a，m=$\frac{a+1}{a}$，
则n-m=$-\frac{1}{8}$a-$\frac{a+1}{a}$=$-\frac{1}{8}$a-$\frac{1}{a}$-1=$\frac{-{a}^{2}-8a-8}{8a}$，
令t=$\frac{-{a}^{2}-8a-8}{8a}$，则t′=$\frac{-{a}^{2}+8}{8{a}^{2}}$＜0在a≤-4时，恒成立，
故当a=-4时，n-m取最大值-$\frac{1}{4}$，
即n-m≤$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，函数的零点，本题转化复杂，运算量大，属于难题．