Question

（普通文科做）已知f（x）=x³+bx²+9x+a有两个极值点，求：
（1）b的取值范围；
（2）当x=1时，切线的斜率为0．求f（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）由题意求导f′（x）=3x²+2bx+9，从而可得△=4b²-4×3×9＞0，从而求得；
（2）令f′（1）=3+2b+9=0解得b=-6；从而求得f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）；根据导数的正负确定函数的单调性．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+bx²+9x+a，
∴f′（x）=3x²+2bx+9，
又∵f（x）=x³+bx²+9x+a有两个极值点，
∴△=4b²-4×3×9＞0，
解得，b＞3

3

或b＜-3

3

；
（2）由题意，f′（1）=3+2b+9=0，
解得b=-6；
故f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）；
故当x＞3或x＜1时，f′（x）＞0；
当1＜x＜3时，f′（x）＜0；
故f（x）的单调增区间为（-∞，1），（3，+∞）．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．