Question

5．设f（x）=|x-3|+|x-4|．
（1）解不等式f（x）≤2；
（2）已知实数x、y、z满足2x²+3y²+6z²=a（a＞0），且x+y+z的最大值是1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的意义，分类讨论，即可解不等式f（x）≤2；
（2）由柯西不等式：[（$\sqrt{2}$x）²+（$\sqrt{3}$y）²+（$\sqrt{6}$z）²][（$\frac{1}{\sqrt{2}}$）²+（$\frac{1}{\sqrt{3}}$）²+（$\frac{1}{\sqrt{6}}$）²]≥（x+y+z）²，可得出a≥（x+y+z）²，从而可根据最大值为1，建立关于a的方程解出a值即可．

解答 解：（1）x＜3时，不等式化为-x+3-x+4≤2，∴x≥2.5，∴2.5≤x＜3；
3≤x≤4时，不等式化为x-3-x+4≤2，成立；
x＞4时，不等式化为x-3+x-4≤2，∴x≤4.5，∴4＜x≤4.5；
综上所述，不等式的解集为{x|2.5≤x≤4.5}；
（2）由柯西不等式：[（$\sqrt{2}$x）²+（$\sqrt{3}$y）²+（$\sqrt{6}$z）²][（$\frac{1}{\sqrt{2}}$）²+（$\frac{1}{\sqrt{3}}$）²+（$\frac{1}{\sqrt{6}}$）²]≥（x+y+z）²，
因为2x²+3y²+6z²=a（a＞0），所以a≥（x+y+z）²，
因为x+y+z的最大值是1，所以a=1，
当2x=3y=6z时，x+y+z取最大值，所以a=1．

点评 本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，对于柯西不等式的构造是题目的关键，需要同学们灵活应用．