题目内容

13．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体毛坯的三视图，第一次切削，将该毛坯得到一个表面积最大的长方体，第二次切削沿长方体的对角面刨开，得到两个三棱柱，第三次切削将两个三棱柱分别沿棱和表面的对角线刨开得到两个鳖臑和两个阳马，则阳马与鳖臑的体积之比为（　　）
A．3：1B．2：1C．1：1D．1：2

分析 由题意，第一次切削，将该毛坯得到一个表面积最大的长方体，为正方体，第二次切削沿长方体的对角面刨开，得到两个全等的直三棱柱，求出相应的体积，即可得出结论．

解答 解：由题意，第一次切削，将该毛坯得到一个表面积最大的长方体，为正方体，第二次切削沿长方体的对角面刨开，得到两个全等的直三棱柱，设正方体的棱长为a，则直三棱柱的体积=$\frac{1}{2}×a×a×a$=$\frac{1}{2}{a}^{3}$
鳖臑的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×a×a$=$\frac{1}{6}{a}^{3}$，阳马的体积=$\frac{1}{2}{a}^{3}$-$\frac{1}{6}{a}^{3}$=$\frac{1}{3}{a}^{3}$，
∴阳马与鳖臑的体积之比为2：1，
故选B．

点评 本题考查三视图，考查体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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