Question

已知数列{a_n}是等比数列，首项a₁=2，a₄=16．
（l）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列b_n=lga_n，证明数列{b_n}是等差数列并求前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,对数的运算性质,等差数列的前n项和,等比数列的通项公式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（l）等比数列{a_n}中，由a₁=2，a₄=16可求得公比q，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知b_n=nlg2，易求b_n-b_n-1=lg2（n≥2），从而可证数列{b_n}是等差数列并求前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵{a_n}是等比数列，a₁=2，a₄=16，
∴a₁q³=16，q=2，
∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ．
（2）∵b_n=lga_n=lg2ⁿ=nlg2，
∴b_n-b_n-1=nlg2-（n-1）lg2=lg2（n≥2），
∴{b_n}是以lg2为首项，以lg2为公差的等差数列．
∴T_n=

(lg2)n(n+1)

2

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的通项公式，考查等差关系的确定，属于中档题．