Question

17．已知焦点在x轴上的椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）
（1）若0＜b≤2，求离心率e的取值范围；
（2）椭圆E内含圆C：x²+y²=$\frac{8}{3}$．圆C的切线l与椭圆E交于A，B两点，满足$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$（O为坐标原点）．
①求b²的值；
②求△ABC面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意的椭圆的离心率公式，根据b取值范围，即可求得离心率e的取值范围；
（2）①分类，当直线的斜率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理，向量数量积的坐标运算，即可求得b²的值；
②由①可知，利用弦长公式，及三角形的面积公式，换元，利用二次函数的性质即可求得三角形面积的△ABC面积的取值范围；
方法二：过原点O作OD⊥AB，垂足为D，丨OD丨=R=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，设∠OAB=θ，根据三角形的关系，即可求得丨AB丨的取值范围，利用三角形的面积公式即可求得△ABC面积的取值范围．

解答 解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{8}}$，
由0＜b≤2，则$\frac{1}{2}$≤1-$\frac{{b}^{2}}{8}$＜1，
则$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1，
离心率e的取值范围[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）；
（2）①设圆C的切线l与椭圆E的两个交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（i） 当直线l的斜率不存在时，l的方程可设为x=$\sqrt{\frac{8}{3}}$，代入椭圆方程得y=±$\sqrt{\frac{2}{3}}$b，
由$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，有x₁x₂+y₁y₂=0，即-$\frac{8}{3}$-$\frac{2}{3}$b²=0，解得：b²=4，…3分
（ii）当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y=kx+m，代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1
得（b²+8k²）x²+16mkx+8（m²-b²）=0，
由韦达定理：x₁+x₂=-$\frac{16km}{{b}^{2}+8{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8（{m}^{2}-{b}^{2}）}{{b}^{2}+8{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，则x₁x₂+y₁y₂=0，
可得（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
根系关系代入，得m²=$\frac{8{b}^{2}（1+{k}^{2}）}{8+{b}^{2}}$，（*）….5分
又因为直线l和圆相切，圆心到切线距离等于半径，即R=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
即m²=$\frac{8}{3}$（1+k²）代入（*），整理得b²=4
综上所述，不论直线l的斜率是否存在，都有b²=4，…..7分
②方法一：由b²=4，得：将直线方程代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
整理得：（4+8k²）x²+16mkx+8（m²-4）=0，
x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2（{m}^{2}-4）}{1+2{k}^{2}}$，
再由m²=$\frac{8{b}^{2}（1+{k}^{2}）}{8+{b}^{2}}$，
丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$•$\frac{\sqrt{（1+{k}^{2}）（4{k}^{2}+1）}}{2{k}^{2}+1}$，…9分
令t=1+2k²，t≥1，
可得：丨AB丨²=$\frac{16}{3}$[-（$\frac{1}{t}$）²+$\frac{1}{t}$+2]，t≥1，
由二次函数的性质可知：$\frac{32}{3}$＜丨AB丨²≤12，
当k不存在时丨AB丨²=$\frac{32}{3}$，则$\frac{4\sqrt{6}}{3}$＜丨AB丨≤2$\sqrt{3}$，
∴△ABC面积S=$\frac{1}{2}$×d×丨AB丨=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$×丨AB丨，
∴S∈[$\frac{8}{3}$，2$\sqrt{2}$]，
△ABC面积的取值范围[$\frac{8}{3}$，2$\sqrt{2}$]．….12分
法二：过原点O作OD⊥AB，垂足为D，则D为切点，丨OD丨=R=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，设∠OAB=θ，
知θ为锐角，且丨AD丨=$\frac{R}{tanθ}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3tanθ}$，丨BD丨=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$tanθ，
∴丨AB丨=丨AD丨+丨BD丨=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$（tanθ+$\frac{1}{tanθ}$），
由丨OA丨在椭圆的a，b之间变化，即2≤丨OA丨≤2$\sqrt{2}$，则$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤tanθ≤$\sqrt{2}$，
∴$\frac{4\sqrt{6}}{3}$＜丨AB丨≤2$\sqrt{3}$，
∴△ABC面积S=$\frac{1}{2}$×d×丨AB丨=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$×丨AB丨，
∴S∈[$\frac{8}{3}$，2$\sqrt{2}$]，

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，二次函数的最值，考查计算能力，属于中档题．