题目内容

对于任意的t∈[1，2]，函数 $数学公式$ 在区间（t，3）上总存在极值，求m的范围

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
-9＜m＜-5
D.
-9＜m＜0

B
分析：首先求出原函数的导函数，函数在区间（t，3）上总存在极值，说明其导函数值在该区间内有正有负，求出的导函数是二次函数，对应的图象开口向上，且两根之积小于0，说明导函数的一个零点是负值，只要让另一个零点在区间（t，3）内即可，列式后再通过函数的单调性求m的范围，最后取交集．
解答：由函数 $\text{[math]}$ ，得：f^′（x）=3x²+（4+m）x-2．
要使对于任意的t∈[1，2]，函数 $\text{[math]}$ 在区间（t，3）上总存在极值，
说明导函数f^′（x）的值在（t，3）上有正有负，
因为二次函数f^′（x）=3x²+（4+m）x-2的图象开口向上，且横过定点（0，-2），
所以，只需 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
由①得：m＜ $\text{[math]}$ （1≤t≤2）．而 $\text{[math]}$ ．
所以，m＜-9．
由②得：m＞- $\text{[math]}$ ．
所以，使得对于任意的t∈[1，2]，函数 $\text{[math]}$ 在区间（t，3）上总存在极值的m的范围是 $\text{[math]}$ ．
故选B．
点评：本题考查了函数在某点取极值的条件，考查了二次函数的图象与零点的关系，训练了利用分离变量法求参数的范围，考查了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．

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已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）
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（Ⅱ）当a=-2时，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[

+f′(x)]在区间（t，3）上总存在极值？