Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=-2时，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f′(x)]在区间（t，3）上总存在极值？

Answer 1

分析：（Ι）求导函数，分类讨论，利用导数的正负确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f′(x)]在区间（t，3）上总存在极值，可得函数g′（x）在区间（t，3）上总存在零点，进而可得g′（t）＜0，g′（3）＞0，由此可得结论．

解答：解：（Ι）由f′(x)=

a(1-x)

x

（x＞0）知：
当a＞0时，函数f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+∞）；…（2分）
当a＜0时，函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），单调减区间是（0，1）；…（4分）
当a=0时，函数f（x）=-3是常数函数，无单调区间．      …（6分）
（Ⅱ）当a=-2时，f（x）=-2lnx-ax-3，f′(x)=2-

2

x

．
故g(x)=x3+(2+

m

2

)x2-2x，…（7分）
∴g′（x）=3x²+（4+m）x-2，
∵函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f′(x)]在区间（t，3）上总存在极值
∴函数g′（x）在区间（t，3）上总存在零点
∵函数g′（x）是开口向上的二次函数，且g′（0）=-2＜0
∴g′（t）＜0，g′（3）＞0
由g′（t）＜0，可得m＜

2

t

-3t-4，令H（t）=

2

t

-3t-4，则H′（t）=-

2

t2

-3＜0
∴H（t）在[1，2]上单调递减，∴H（t）≥H（2）=-9，∴m＜-9
由g′（3）＞0，可得27+（4+m）×3-2＞0，∴m＞-

37

3

∴-

37

3

＜m＜-9时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f′(x)]在区间（t，3）上总存在极值．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，正确求导是关键．