Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（II）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（x））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f^′（x）]在区间（t，3）上总存在极值？
（III）当a=2时，设函数h（x）=（p-2）x+

p+2

x

-3，若对任意的x∈[1，2]，f（x）≥h（x）恒成立，求实数P的取值范围．

Answer 1

分析：（I）当a=1时，f（x）=lnx-x-3，故可先求它的导函数，令导数大于0解出其单调增区间，进而得到减区间．
（II）函数y=f（x）的图象在点（2，f（x））处的切线的倾斜角为45°，可求得此切线的斜率为1，即切点处的导数为1，由此求得参数a的值，再求出g（x）=x³+x²[

m

2

+f^′（x）]的解析式，利用导数研究函数在区间（t，3）上总存在极值即可．
（III）a=2时，设函数h（x）=（p-2）x+

p+2

x

-3，若对任意的x∈[1，2]，f（x）≥h（x）恒成立，即任意的x∈[1，2]，f（x）-h（x）≥0恒成立，故求出函数f（x）-h（x）最小值，令其非负即可得到关于参数p的不等式，解之即可求得参数的范围．

解答：解：f'（x）=

a

x

-a（x＞0）
（I）a=1时，f'（x）=

1

x

-1（x＞0），令f'（x）＞0解得0＜x＜1，所以f（x）在区间（0，1）递增，
令f'（x）＜0解得x＞1，所以f（x）在区间（1，+∞）递减，
（II）函数y=f（x）的图象在点（2，f（x））处的切线的倾斜角为45°，
f'（2）=1，即

a

2

-a=1，故a=-2，由此得f'（x）=

-2

x

+2
∴g（x）=x³+x²[

m

2

+f^′（x）]=x³+x²（

m

2

+

-2

x

+2）=x³+（

m

2

+2）x²-2x，∴g'（x）=3x²+（4+2m）x-2
∵对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f^′（x）]在区间（t，3）上总存在极值
∴g'（x）=3x²+（4+2m）x-2在区间（t，3）上总有根，
∴g'（2）＜0，g'（3）＞0，
解得-

37

3

＜m＜-9
（III）a=2时，f（x）=2lnx-2x-3
令F（x）=f（x）-h（x）=2lnx-px-

p+2

x

F'（x）=

2

x

-p+

p+2

x2

=

2x-px2+p+2

x2

=

-p(x- p+2 p ) (x+1)

x2

①p+2=0时，F'（x）=

2x+2

x2

＞ 0，∴F（x）在[1，2]递增，所以F（1）=-2＜0不成立，舍
②1+

2

p

＜-1，即-1＜p＜0时，同①不成立，舍；
③-1＜1+

2

p

≤1，即p＜-1时，F（x）在[1，2]递增，∴F（1）=-2p-2≥0，解得p≤-1，所以p＜-1
④p=-1时，F（x）在[1，2]递增，成立
⑤p＞0时，无不成立
综上，p≤-1

点评：本题考点是利用导数研究函数的单调性，考查了用导数求函数的单调区间，用导数研究函数的极值，利用导数求函数的最值，本题涉及到了用导数研究函数的三大问题，知识性综合性较强，在解题过程中要注意问题的转化及分类讨论的技巧的使用．