Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）若a=-1，求函数f（x）的单调区间并比较f（x）与f（1）的大小关系；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[f′（x）+

m

2

]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（3）若n≥2，n∈N⁺，试猜想

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

lnn

n

与

1

n

的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用导数，可得函数的单调区间；
（2）点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数得不等式组，从而可求m的范围；
（3）利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，可得0＜

lnn

n

＜

n-1

n

，从而可得结论．

解答：解：（1）当a=-1时，f（x）=-lnx+x-3，f′（x）=

x-1

x

（x＞0）----------（1分）
令f′（x）＞0，解得x∈[1，+∞）；令f′（x）＜0，解得x∈（0，1]
所以，f（x）的单调增区间为[1，+∞）；减区间为（0，1]-----------------（3分）
所以f（x）_min=f（1），所以f（x）≥f（1）；-----------------------（4分）
（2）∵f′（x）=

a(1-x)

x

(x＞0)
∴f′（2）=-

a

2

得a=-2，∴f（x）=-2lnx+2x-3
∴g（x）=x³+（

m

2

+2）x²-2x，
∴g′（x）=3x²+（m+4）x-2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

（8分）
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

∴-

37

3

＜m＜-9（10分）
（3）猜想：

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

lnn

n

＜

1

n

（n≥2，n∈N^*）-------------（11分）
证明如下：由（1）可知
当x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N^*，则有0＜lnn＜n-1，
∴0＜

lnn

n

＜

n-1

n

-----------（13分）
∴

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

lnn

n

＜

1

2

•

2

3

•…•

n-1

n

=

1

n

----------（14分）

点评：本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，考查函数导数的几何意义的考查，属于中档题．