Question

1．如图，在体积为2的三棱锥A-BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G，使AE：EB=AF：FC=AG：GD=2：1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥O-BCD的体积等于（　　）

• A． $\frac{1}{9}$
• B． $\frac{1}{8}$
• C． $\frac{1}{7}$
• D． $\frac{2}{7}$

Answer 1

分析 画出图形，三棱锥O-BCD的体积，转化为线段的长度比，充分利用直线的平行进行推到，求出比例即可．

解答 解：AA'为正三棱锥A-BCD的高；OO'为正三棱锥O-BCD的高
因为底面△BCD相同，则它们的体积比为高之比
已知三棱锥A-BCD的体积为2
所以，三棱锥O-BCD的体积为：$\frac{2OO′}{AA′}$…（1）
由前面知，FG∥CD且$\frac{FG}{CD}$=$\frac{2}{3}$
所以由平行得到，$\frac{FG}{CD}$=$\frac{GN}{NC}$=$\frac{2}{3}$
所以，$\frac{GN}{GC}$=$\frac{2}{5}$[面BCG所在的平面图如左上角简图]
同理，$\frac{GP}{GB}$=$\frac{2}{5}$
则$\frac{GN}{GC}$=$\frac{GP}{GB}$
所以，PN∥BC
那么，$\frac{PN}{BC}$=$\frac{GN}{GC}$=$\frac{2}{5}$亦即，$\frac{GT}{GQ}$=$\frac{GN}{GC}$=$\frac{2}{5}$
设GQ=x那么，GT=$\frac{2}{5}$x
则，QT=GQ-GT=x-$\frac{2}{5}$x=$\frac{3}{5}$x
而$\frac{TO}{OQ}$=$\frac{TN}{BQ}$=$\frac{GN}{GC}$=$\frac{2}{5}$，
所以：$\frac{TO}{TQ}$=$\frac{2}{7}$
则，TO=$\frac{2}{7}$QT=$\frac{2}{7}$×$\frac{3}{5}$x=$\frac{6x}{35}$
所以：GO=GT+TO=$\frac{2}{5}$x+$\frac{6x}{35}$=$\frac{4x}{7}$
所以，OQ=GQ-GO=x=$\frac{4x}{7}$=$\frac{3x}{7}$
又$\frac{OQ}{GQ}$=$\frac{OO′}{GG′}$
所以，$\frac{OQ}{GQ}$=$\frac{3}{7}$…（2）
且，$\frac{DG}{DA}$=$\frac{GG′}{AA′}$
所以：$\frac{GG′}{AA′}$=$\frac{1}{3}$…（3）
由（2）*（3）得到：$\frac{OO′}{AA′}$=$\frac{1}{7}$代入到（1）得到：三棱锥O-BCD的体积就是$\frac{2OO′}{AA′}$=$\frac{2}{7}$．
故选：D．

点评 本题考查学生对三棱锥的认识，以及必要的辅助线的作法，是难题．