Question

20．若函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-2cos2x，x∈[$\frac{π}{2}$，π]．
（1）若sinx=$\frac{4}{5}$，求函数f（x）的值；
（2）求函数f（x）的周期、最小值、对称轴、单调增区间；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）应用二倍角公式求值：（2）利用化一公式求周期、最值、对称轴、单调区间；（3）求三角函数最值．

解答 解：（1）∵x∈$[\frac{π}{2}，π]$，sinx=$\frac{4}{5}$，∴cosx=-$\frac{3}{5}$．∴sin2x=-$\frac{24}{25}$，cos2x=-$\frac{7}{25}$．故f（x）=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x$）-2cos2x=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=$\frac{-24\sqrt{3}+7}{25}$．
（2）由（1）得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），故函数f（x）的周期为π，最小值为-2，对称轴为x=$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，单调增区间为（-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}+kπ$）k∈Z．
（3）∵x$∈[\frac{π}{2}，π]$∴$2x-\frac{π}{6}∈[\frac{5π}{6}，\frac{11π}{6}]$∴$sin（2x-\frac{π}{6}）∈[-1，\frac{1}{2}]$，故f（x）的值域为[-2，1]．

点评 本题考查了三角函数的单调增区间及求值问题．