题目内容
已知正项数列{an}中，a1=t，其前n项和为Sn，满足2Sn=an•an+1．
（1）如果数列{an}为等差数列，求t的取值，并求出数列{an}的通项公式；
（2）如果数列{an}为单调递增数列，求t的取值范围．
（1）如果数列{an}为等差数列，求t的取值，并求出数列{an}的通项公式；
（2）如果数列{an}为单调递增数列，求t的取值范围．
考点：数列递推式,等差关系的确定
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：（1）由已知得出n≥2时，2Sn-1=an-1•an，两式相减并整理an+1-an-1=2，利用数列{an}为等差数列，确定t的取值，从而求出数列{an}的通项公式；
（2）如果数列{an}为单调递增数列，a1=t＜a2＜a3，得t∈（0，2），再进行证明即可．
（2）如果数列{an}为单调递增数列，a1=t＜a2＜a3，得t∈（0，2），再进行证明即可．
解答：
解：（1）由2Sn=an•an+1知：2S1=a1•a2，则a2=2．
当n≥2时，2Sn-1=an-1•an，
则n≥2时，2an=an（an+1-an-1），即an+1-an-1=2，
如果数列{an}为等差数列，则d=1，则a1=t=a2-d=1，
反之，当a1=t=1时，由a2=2且an+1-an-1=2易得an=n，为等差数列．
综上数列{an}为等差数列时，t=1，此时an=n；
（2）由上知a1=t，a2=2，an+1-an-1=2，
令a1=t＜a2＜a3，得t∈（0，2）
此时a2k-1=t+2（k-1）=2k-2+t，a2k=2+2（k-1）=2k，
有a2k-a2k-1=2k-（2k-2+t）=2-t＞0，a2k+1-a2k=2（k+1）-2+t-2k=t＞0，
即数列{an}为单调递增数列
综上：数列{an}为等差数列时t∈（0，2）．
当n≥2时，2Sn-1=an-1•an，
则n≥2时，2an=an（an+1-an-1），即an+1-an-1=2，
如果数列{an}为等差数列，则d=1，则a1=t=a2-d=1，
反之，当a1=t=1时，由a2=2且an+1-an-1=2易得an=n，为等差数列．
综上数列{an}为等差数列时，t=1，此时an=n；
（2）由上知a1=t，a2=2，an+1-an-1=2，
令a1=t＜a2＜a3，得t∈（0，2）
此时a2k-1=t+2（k-1）=2k-2+t，a2k=2+2（k-1）=2k，
有a2k-a2k-1=2k-（2k-2+t）=2-t＞0，a2k+1-a2k=2（k+1）-2+t-2k=t＞0，
即数列{an}为单调递增数列
综上：数列{an}为等差数列时t∈（0，2）．
点评：本题主要考查数列递推式、考查数列的项an与Sn的关系，要求熟练掌握．
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