Question

5．设数列 {a_n} 的前n项和为S_n（n∈N^*），关于数列 {a_n} 有下列四个命题：
①若 {a_n}既是等差数列又是等比数列，则 a_n=a_n+1（n∈N*）；
②若  S_n=an²+bn（a，b∈R），则 {a_n}是等差数列；
③若 S_n=1-（-1）ⁿ，则 {a_n}是等比数列；
④若 S₁=1，S₂=2，且 S_n+1-3S_n+2S_n-1=0（n≥2），则数列 {a_n}是等比数列．
这些命题中，真命题的序号是①②③．

Answer 1

分析 ①设其前三项分别为：a-d，a，a+d（d为公差），则a²=（a-d）（a+d），解得d=0，即可判断出结论；
②由数列 {a_n}为等差数列的充要条件即可判断出正误；
③由 S_n=1-（-1）ⁿ，可得a₁=2，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2×（-1）ⁿ⁺¹，即可判断出结论．
④由 S_n+1-3S_n+2S_n-1=0（n≥2），利用递推关系可得a_n+1=2a_n，又 S₁=1，S₂=2，可得a₂=a₁，即可判断出正误．

解答 解：①若 {a_n}既是等差数列又是等比数列，设其前三项分别为：a-d，a，a+d（d为公差），则a²=（a-d）（a+d），解得d=0，因此 a_n=a_n+1（n∈N^*），正确；
②由 S_n=an²+bn（a，b∈R）是数列 {a_n}为等差数列的充要条件，可得正确；
③若 S_n=1-（-1）ⁿ，则a₁=2，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2×（-1）ⁿ⁺¹，为等比数列，首项为2，公比为-1，因此正确；
④由 S_n+1-3S_n+2S_n-1=0（n≥2），可得S_n+1-S_n=2（S_n+S_n-1），即a_n+1=2a_n，又 S₁=1，S₂=2，∴a₁=1，a₂=1，可得a₂=a₁，数列 {a_n}不是等比数列．
这些命题中，真命题的序号是①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了数列的递推关系、等比数列与等差数列的定义通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．