Question

在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，，点在线段上，且．

（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

试题分析：(1)线线垂直是通过线面垂直证明，由已知，，从而平面，进而可证明；（2）要证明直线和平面平行，只需在平面内找一条直线与之平行即可，该题中通过计算得，从而说明，进而证明面；（3）二面角的求法：根据已知条件选三条两两垂直的直线，分别作为轴，建立空间直角坐标系，表示相关点的坐标，并求二面角两个半平面的法向量，再求法向量的夹角，通过观察二面角是锐二面角还是钝二面角，决定二面角余弦值的正负，该题中，可选的方向为轴的正方向，而且面的法向量就是，故只需求面的法向量即可．
试题解析：(I) 因为是正三角形，是中点，所以,即，又因为，平面，，又，所以平面，
又平面，所以．
（Ⅱ）在正三角形中，， 在中，因为为中点，，所以
，所以，所以，在等腰直角三角形中，，，所以，，所以，又平面，平面，所以平面．

（Ⅲ）因为，所以，分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系，所以
由（Ⅱ）可知，为平面的法向量 ，，
设平面的一个法向量为,则，即，令则平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 则          
所以二面角余弦值为．