Question

2．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点F作斜率为k₁的直线与抛物线C交于A，B两点，A，B两点到x轴的距离之积为2p．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若M点的坐标为（4，0），延长AM，BM交抛物线于C，D两点，设直线CD的斜率为k₂，求$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程与抛物线方程可得${y}^{2}-\frac{2p}{{k}_{1}}y-{p}^{2}$=0，则A，B两点到x轴的距离之积为|y₁y₂|=p²，结合已知求出p值，可得抛物线C的方程；
（2）C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），则k₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{1}{4}（{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}）}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，同理k₂=$\frac{4}{{y}_{3}+{y}_{4}}$，由此利用直线方程结合已知条件能求出 $\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的值．

解答 解：（1）∵抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F坐标为（$\frac{p}{2}$，0），
故过点F作斜率为k₁的直线方程为：y=k₁（x-$\frac{p}{2}$），
联立抛物线C：y²=2px（p＞0）可得：${y}^{2}-\frac{2p}{{k}_{1}}y-{p}^{2}$=0，
设A，B两点的坐标为：（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则y₁y₂=-p²，则A，B两点到x轴的距离之积为p²，
即p²=2p，
解得：p=2，
故抛物线C的方程为：y²=4x；
（2）设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
则k₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{1}{4}（{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}）}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，同理k₂=$\frac{4}{{y}_{3}+{y}_{4}}$，
设AC所在的直线方程为y=m（x-4），
联立$\left\{\begin{array}{l}y=m（x-4）\\{y}^{2}=4x\end{array}\right.$，得my²-4y-16m=0，
∴y₁y₃=-16，同理，y₂y₄=-16，
∴$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}}{\frac{4}{{y}_{3}+{y}_{4}}}$=$\frac{{y}_{3}+{y}_{4}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{（\frac{{y}_{1}}{-16}）+（\frac{{y}_{2}}{-16}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{-16}{{y}_{1}•{y}_{2}}$=$\frac{-16}{-4}$=4

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．