题目内容

12.已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{75}$=1被直线l截得的弦的中点坐标为($\frac{1}{2}$,-$\frac{1}{2}$).
(1)求直线l的方程;
(2)求截得的弦长.

分析 (1)设l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,两式相减,得kAB,由此能求出l的方程;
(2)y=3x-2代入椭圆方程,整理可得12x2-12x-71=0,利用韦达定理,结合弦长公式,即可求得截得的弦长.

解答 解:(1)设l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
代入椭圆方程,两式相减,得kAB=-$\frac{75({x}_{1}+{x}_{2})}{25({y}_{1}+{y}_{2})}$=3,
∴l的方程为:y+$\frac{1}{2}$=3(x-$\frac{1}{2}$),即3x-y-2=0;
(2)y=3x-2代入椭圆方程,整理可得12x2-12x-71=0,
∴x1+x2=1,x1x2=-$\frac{71}{12}$,
∴截得的弦长为$\sqrt{1+9}$•$\sqrt{1+4•\frac{71}{12}}$=$\frac{2\sqrt{555}}{3}$.

点评 本题考查椭圆的中点弦的求法,考查点差法的合理运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网