Question

7．已知抛物线C：y=$\frac{1}{4}$x²，点F（0，1）过点F的直线l交抛物线于A，B两点．
（1）若直线l的斜率为1，求A，B的中点坐标和S_△OAB．
（2）求△OAB的面积为2，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求得直线l的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式和O到直线的距离，运用面积公式，计算即可得到；
（2）设出直线l的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，可得三角形的面积，解方程可得直线的斜率k=0，进而得到直线方程．

解答 解：（1）直线l：y=x+1，代入抛物线方程y=$\frac{1}{4}$x²，
可得x²-4x-4=0，设A（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4，x₁x₂=-4，
AB的中点横坐标为2，纵坐标为3，
即有AB的中点为（2，3），
O到直线的距离为d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{16+16}$=8，
则有S_△OAB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{\sqrt{2}}$×8=2$\sqrt{2}$；
（2）设直线l：y=kx+1，代入抛物线方程可得，
可得x²-4kx-4=0，设A（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
O到直线的距离为d=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{16{k}^{2}+16}$=4（1+k²），
则有S_△OAB=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•4（1+k²）=2，
解得k=0．
则直线l：y=1．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的方程的联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．