Question

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，$\overrightarrow{m}$=（2a，1），$\overrightarrow{n}$=（2b-c，cosC），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$
（1）求角A的值；
（2）若△ABC的外接圆直径为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，且b+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意，利用向量平行的坐标表示可得关于cosA 的方程，从而可求cosA，进而可求A．
（2）由正弦定理可求a，再由余弦定理可得：2²=b²+c²-2bccos60°，及b+c=4，联解得bc=4，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，得：2acosC=2b-c，…（2分）
由正弦定理得：2sinAcosC=2sinB-sinC=2sin（A+C）-sinC=2sinAcosC+2cosAsinC-sinC，…（4分）
又sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，解得A=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由△ABC的外接圆直径为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
所以由正弦定理$\frac{a}{sin60°}=2R$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
所以a=2，（8分）
再由余弦定理可得：2²=b²+c²-2bccos60°…..①…（10分）
又因为b+c=4…②，联解得bc=4，
所以△ABC的面积的面积为：$\frac{1}{2}$bcsin60°=$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了向量平行的坐标表示，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．