Question

【题目】已知函数，，.

（1）求的最大值；

（2）若对，总存在，使得成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用导数分析函数的单调性，进而可求得函数的最大值；

（2）由题意可知，对函数求导，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，结合可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围.

（1）函数的定义域为，，

当时，；当时，.

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即；

（2）由题意可知，即.

，则，所以，函数在区间上单调递增，

当时，，即.

①当时，即当时，对任意的恒成立，

此时，函数在区间上单调递增，则，

，解得，此时；

②当时，即当时，对任意的恒成立，

此时，函数在区间上单调递减，则，

，解得，此时；

③当时，即当时，则存在，使得，

且当时，；当时，.

所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

，，.

当时，，解得；

当时，，解得，此时.

综上所述，实数的取值范围是.