Question

20．已知函数f（x）=|x+$\frac{4}{m}$|+|x-m|，（m＞0）．
（1）若函数f（x）的最小值为5，求实数m的值；
（2）求使得不等式f（1）＞5成立的实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用绝对值不等式的性质：|a|+|b|≥|a-b|，当且仅当ab≤0取得等号，可得f（x）的最小值；
（2）求得f（1），讨论当1-m＜0，当1-m≥0，去掉绝对值，解m的不等式，即可得到所求m的范围．

解答 解：（1）由m＞0，有f（x）=|x+$\frac{4}{m}$|+|x-m|≥|x+$\frac{4}{m}$-（x-m）|
=|$\frac{4}{m}$+m|=$\frac{4}{m}$+m，
当且仅当（x+$\frac{4}{m}$）（x-m）≤0时，取等号，
所以f（x）的最小值为$\frac{4}{m}$+m，
由题意可得$\frac{4}{m}$+m=5，
解得m=1或4；
（2）f（1）=|1+$\frac{4}{m}$|+|1-m|（m＞0），
当1-m＜0，即m＞1时，f（1）=1+$\frac{4}{m}$+（m-1）=$\frac{4}{m}$+m；
由f（1）＞5，得$\frac{4}{m}$+m＞5，
化简得m²-5m+4＞0，解得m＜1或m＞4，
所以m＞4；
当1-m≥0，即0＜m≤1时，
f（1）=1+$\frac{4}{m}$+（1-m）=2+$\frac{4}{m}$-m，
由f（1）＞5，得2+$\frac{4}{m}$-m＞5，即m²+3m-4＜0，
解得-4＜m＜1，即为0＜m＜1．
综上，当f（1）＞5时，实数m的取值范围是（0，1）∪（4，+∞）．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用绝对值不等式的性质，考查分类讨论的思想方法，化简整理的运算能力，属于中档题．